Симметричная монета что это
В случайном эксперименте симметричную монету бросают.
Решение задачи с симметричной монетой
В случайном эксперименте симметричную монету бросают один раз
Здесь всё просто. Выпадет либо орёл, либо решка. То есть, имеем два возможных исхода, один из которых нас удовлетворяет
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды
За два броска могут выпасть:
Итак, возможны всего четыре варианта. Задачи с более, чем одним броском, проще всего решать составлением таблицы возможных вариантов. Для простоты, обозначим орла цифрой «0», а решку цифрой «1».
Тогда таблица возможных исходов будет выглядеть так:
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды
Составляем таблицу вариантов:
000
001
010
011
100
101
110
111
Вероятность того, что орёл в трёх бросках выпадет дважды тоже равна 3/8=37,5%, то есть абсолютно такая же.
Вероятность того, что орёл в трёх бросках выпадет трижды равна 1/8=12,5%.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды
Составляем таблицу вариантов:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Вероятность того, что орёл в трёх бросках выпадет дважды равна 6/8=75%.
Вероятность того, что орёл в трёх бросках выпадет трижды равна 4/8=50%.
Вероятность и статистика
ВЕРОЯТНОСТЬ, математическое понятие, количественно характеризующее меру реализации случайного события при тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях и определяемое как действительное число в диапазоне от 0 до 1
БИНОМИАЛЬНЫЙ РЯД — бесконечный ряд, являющийся обобщением формулы бинома Ньютона (1 + х) n на случай дробных и отрицательных показателей n: (1+х)n = 1 + nx + [n (n-1). (n-m+1)/m!]xm +.
Биномиальный ряд сходится: при —1 1, если —1 x 1, если n > 0.
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ (в теории вероятностей), событие, которое может при осуществлении данных условий (т. е. при данном испытании) как произойти, так и не произойти и для которого имеется определенная вероятность его наступления. Наличие у случайного события определенной вероятности r ( от 0 до 1) его появления проявляется в том, что при большом числе испытаний частота появления случайного события оказывается близкой к r.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр., оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).
Монета и игральная кость в теории вероятностей
Многие важные и нужные факты первоначально были получены с помощью очень простых опытов. Большую роль в развитии теории вероятностей как науки сыграли обычные монеты и игральные кубики.
Симметричная монета
Математическая монета, используемая в теории вероятностей, лишена многих качеств настоящей монеты. У математической монеты нет цвета, размера, веса и достоинства.
Монета с точки зрения теории вероятностей имеет только две стороны, одна из которых называется «орел», а другая —«решка». Монету бросают, и она падает одной из сторон вверх. Никакие другие свойства математической монете не присущи.
Название «орел» для обратной стороны (реверса) монеты происходит оттого, что на реверсе российских монет изображен герб Российского государства—двуглавый орел. Впервые орел на монетах появился при великом князе Иване III.
А название «решка» для лицевой стороны (аверса) монеты возникло потому, что рисунок на аверсе российских монет в XVIII—XIX вв. напоминал решетку, на фоне которой был написан номинал монеты (ее достоинство).
Математическая монета считается симметричной. Это означает, что брошенная на стол монета имеет равные шансы выпасть «орлом» или «решкой». При этом подразумевается, что никакой другой исход бросания монеты невозможен, — она не может потеряться, закатившись в угол, и, тем более, не может «встать на ребро».
До сих пор монета часто используется как средство решения споров. В начале футбольного матча арбитр бросает монету, чтобы решить, какая из команд получит право начать игру.
Игральные кости в теории вероятностей
Игральный кубик или игральная кость также служит прекрасным средством для получения случайных событий. Игральная кость имеет удивительную историю. Игра в кости—одна из древнейших. Она была известна в глубокой древности в Индии, Китае, Лидии, Египте, Греции и Риме.
Игральные кости в виде кубиков находили в Египте (XX в. до н. э.) и в Китае (VI в. до н. э.) при раскопках древних захоронений. Точки на гранях древнеегипетских костей часто изображались в виде птичьего глаза.
Правильные (симметричные) кости обеспечивают одинаковые шансы выпадения каждой грани. Для этого все грани должны иметь одинаковую площадь, быть плоскими и одинаково гладкими. Вершины и рёбра кубиков должны иметь правильную форму. Если они скруглены, то все скругления должны быть одинаковыми. Отверстия, маркирующие очки на гранях, должны быть просверлены на одинаковую глубину. Сумма очков на противоположных гранях правильной кости равна 7.
Математическая игральная кость, которая обсуждается в теории вероятностей,—это математический образ правильной кости. Выпадения всех граней равновозможны. Подобно математической монете, математическая кость не имеет ни цвета, ни размера, ни веса, ни иных материальных качеств.
Игры в кости у разных народов мира
Об играх с костями животных (игры в «лодыжки», «костыги», «козули») у славян и на языческой Руси свидетельствуют многочисленные археологические находки на обширной территории. Отсюда и русское название игрального кубика—кость.
В острогах заключенные играли парой костяных кубиков с очками на гранях, называя их «быками». Выражение «быков гонять» до сих пор означает игру в кости.
Ранние упоминания о костях в древнеиндийской поэзии отражают популярность игры в кости в Древней Индии. В Древней Греции считалось, что игральные кости придумал Паламед во время Троянской войны. Но по версии философа Геродота, кости изобрели лидийцы, населявшие Малую Азию, чтобы отвлечься от голода, болезней или других напастей.
В Древнем Риме кости, вероятно пришедшие из Древней Греции, быстро приобрели популярность. В кости играли все, от рабов до императоров. Император Клавдий даже написал книгу по игре в кости. В III в. до н. э. в Риме игра в кости была запрещена и разрешалась лишь во время ежегодного празднования Сатурналий.
Азартные игры в кости запрещали не только в Древнем Риме. В Древнем Китае за игру в кости можно было попасть на каторгу.
С появлением христианства кости время от времени запрещались в разных странах, поскольку, по мнению духовенства, игра эта была порождением дьявола. Человек, играющей в кости, при этом якобы становился слугой дьявола, распространяя зло.
В другое время кости были разрешены, и игра в них даже поощрялась, при этом каждому сочетанию очков приписывалось некоторое божественное значение. Считалось, что игра в кости позволяет благочестивому человеку выявить свои христианские добродетели. Очевидно, такие крайности в отношении азартных игр свидетельствуют о том, что изжить их церковь не могла, но иногда пыталась использовать страсть к игре в своих целях.
В 1188 г. английский король Генрих II запретил играть в кости крестоносцам. Многочисленные королевские указы в XIII—XIV вв. запрещают игру в кости во Франции.
Игра в кости в самых разных проявлениях намного древнее всех прочих игр. Поэтому и жулики (шулеры), нечестным способом выигрывающие в кости, появились намного раньше карточных шулеров. Археологи находят в раскопах Древнего Китая, Греции и Рима игральные кости, у которых нарушена симметрия.
Все рассуждения о равных вероятностях выпадения различных комбинаций справедливы, если кость имеет кубическую форму и ее центр тяжести совпадает с геометрическим центром. Изменение формы или смещение центра тяжести меняет свойства кости. Кости неправильной формы —самый обычный тип шулерских костей. Иногда в кости вплавляют свинцовые шарики, в них делают замаскированные пустоты, каналы, по которым переливается ртуть.
Нарушить равновозможность выпадения граней можно, сделав некоторые грани чуть выпуклыми, а другие — чуть вогнутыми. Достаточно сделать одни из граней более гладкими, чем другие. Все эти способы предназначены для изменения вероятностей выпадения очков.
Есть еще способ плутовства — нарушение разметки костей. Если сумма очков на противоположных гранях не равна 7, то искусный мошенник, определенным образом бросая кости, может добиться, что сумма выброшенных им очков будет больше, чем у неискушенного игрока.
(Тюрин и др. Теория вероятностей и статистика, 2008)
Теория вероятностей не так проста как кажется
Что нужно знать о теории вероятностей?
Автор — доцент института религиозных исследований и критической оценки Австралийского католического университета в Мельбурне. Его работы опубликованы в Journal of Philosophy и др.
Азартный игрок, физик-теоретик и присяжный рассуждают о теории вероятностей: какова вероятность выигрыша, радиоактивного распада и виновности подсудимого. Но, несмотря на повсеместность подобных рассуждений, эксперты спорят о самом существовании вероятностей. Это приводит к разногласиям о методах рассуждения: нужно учесть вероятность разногласий о способности когнитивных искажений усугублять, например, к игнорированию доказательств, противоречащих нашим убеждениям. Таким образом, понимание теории вероятностей может помочь нам рассуждать лучше.
Три популярные теории рассматривают вероятности c точки зрения частоты повторения, предрасположенности и степени уверенности. Допустим, я скажу вам, что если вы подбросите монетку, то с вероятностью в 50% выпадет «орёл». Речь в этих теориях идет соответственно о частоте повторения, с которой выпадает «орел»; физических свойствах монеты и тенденции к выпадению «орла»;
ВЕРОЯТНОСТЬ ВЫПАДЕНИЯ «ОРЛА» ПРИ ПЕРВОМ БРОСКЕ СОСТАВЛЯЕТ 75%.
Но у каждой из вышеописанных теорий есть небольшие проблемы. Рассмотрим следующий случай:
Адам подбрасывает симметричную монету*, которая становится невидимой после четвертого броска. Друзья Адама Бет, Чарльз и Дэйв сидят рядом, но с завязанными глазами. После четвертого броска Бет говорит: «вероятность того, что в первый раз выпал «орел» составляет 50%».
Затем Адам говорит друзьям, что «орел» выпал три раза из четырех. Чарльз считает, что вероятность выпадения «орла» при первом броске составляет 75%.
Несмотря на то, что Дэйв владеет той же информацией, что и Чарльз, он говорит: «я не согласен. Вероятность того, что при первом броске выпал «орел» составляет 60%».
*Симметричная монета — математическая монета, используемая в теории вероятностей, лишена многих качеств настоящей монеты. У математической монеты нет цвета, размера, веса и достоинства. Монета с точки зрения теории вероятностей имеет только две стороны, одна из которых называется «орел», а другая —«решка». Монету бросают, и она падает одной из сторон вверх. Никакие другие свойства математической монете не присущи — прим. переводчика.
Частота повторения не соответствует утверждению Бет. «Орел» выпал с частотой три из четырех, но подбросить монету снова нельзя. Кажется, Бет права: вероятность выпадения «орла» при первом броске составляет 50%.
В то же самое время, Чарльз говорил о тенденции к выпадению «орла». Поскольку это симметричная монета, и «орел» и «решка» могут выпасть с одинаковой вероятностью. Кажется, Чарльз оказался прав заявив, что вероятность выпадения «орла» при первом броске составляет 75%. Степень уверенности имеет смысл в двух утверждениях — и Бет и Чарльз уверены в том, что выпал «орел».
Но давайте рассмотрим утверждение Дейва. С одной стороны, когда Дейв говорит, что вероятность выпадения «орла» равна 60%, он врет. Но с другой стороны, если Дейв действительно уверен, что вероятность выпадения «орла» составляет 60%, то он говорит правду, исходя из степени своей уверенности.
Некоторые философы считают, что подобные случаи поддерживают плюралистический подход, при котором учитывается существование самых разнообразных вероятностей. Я же считаю, что следует рассмотреть теорию вероятностей с четвертой точки зрения — уровня поддержки.
Здесь вероятности рассматриваются как совокупность доказательств между утверждениями.
Когда Бет говорит, что «орел» выпадет с вероятностью 50%, она подразумевает, что эта вероятность зависит от ранее полученной информации — например о том, что монета симметричная. Однако, вероятность меняется относительно другой информации. Когда Чарльз говорит, что «орел» выпадет с вероятностью 75%, он имеет в виду, что вероятность равносильна информации о том, что «орел» выпал три раза из четырех. Между тем, Дэйв говорит, что вероятность выпадения «решки» составляет 60% по отношению к той же информации, но поскольку мы знаем, что «орел» выпал три раза из четырех, Дэйв лжет.
Степень уверенности объединяет все три теории и помогает решить существующие проблемы. Она помогает зафиксировать связь между вероятностью и степенью уверенности не идентифицируя их — степень уверенности должна рационально ограничиваться уровнем поддержки. Причина, по которой я должен быть на 50% уверен в том, что выпадет «орел» (при условии, что все, что мне известно о монете — то, что она симметричная), заключается в качестве доказательств, подтверждающих эту гипотезу.
Точно так же, благодаря уровню поддержки, мы знаем, что «орел» выпадал с частотой повторения 75% (что делает выпадение «орла» вероятным на 75% при любом броске). Подобный подход фиксирует связь между частотой повторенияи вероятностью, но не означает, что частота повторения и вероятность — одно и то же. Вместо этого, вероятности могут быть связаны утверждениями о частоте повторения и конкретных людях.
Наконец, тенденция к выпадению «орла» свойственна уровню поддержки, что с одной стороны, говорит о физических свойствах монеты, а с другой о вероятности выпадения «орла» или «решки» — иными словами, данный подход определяет влияют ли физические свойства монеты на ее «поведение». В более широком смысле, причину и следствие связывает предрасположенность — например, описание строения атома и гипотезу о его распаде.
Поскольку все вышеизложенное делает вероятности самостоятельными структурами, наши четыре теории подскажут как определить принцип произведения вероятностей.
Абстрактный объект — объект, созданный какой-либо абстракцией или при посредстве какой-либо абстракции; когнитивно представленный объект познания, репрезентирующий те или иные сущностные аспекты, свойства, отношения вещей и явлений окружающего мира — прим. переводчика.
Скептик может сказать, что подбрасывать монетку легко. Представьте, что вы присяжный. Как определить вероятность совершения убийства подсудимым, чтобы понять существуют ли основания для сомнения в его невиновности?
Ответ: нужно больше думать. Во-первых, задать вопрос: существуют ли доказательства совершения преступления? Мы должны выяснить, насколько убедительны эти доказательства и подтверждают ли они гипотезу о виновности подсудимого. Возможно, наше внимание привлекут отпечатки пальцев на орудии убийства.
Затем следует спросить: можем ли мы математически рассчитать вероятности, чтобы в свете доказательств опровергнуть вероятность нашей гипотезы, заменив ее более приемлемой? Теперь нас интересует вероятность причины-следствия — обвиняемый совершил убийство (причина), его отпечатки пальцев обнаружили на орудии убийства (следствие). позволяет вычислить роль трех дополнительных вероятностей: априорной вероятности причины, вероятности следствия, вызванного этой причиной, и вероятности следствия без причины.
Так как это относится к любой имеющейся у нас информации, первая вероятность (причина) определена тем, что нам известно о мотивах и возможностях подсудимого. Мы можем разобраться с третьей вероятностью (следствие без причины), разбив вероятность невиновности подсудимого на другие возможные причины смерти жертвы; узнать какова вероятность каждой из них, а так же с какой вероятностью отпечатки пальцев подсудимого могут попасть на орудие убийства. В конечном итоге, мы определим вероятность того, что другие вероятности больше не «разбиваются».
Теперь мы можем вывести общие принципы для определения вероятностей, либо опереться на интуитивные суждения, как в случае с подбрасыванием монеты.
Рассуждения о преступниках, а не о монетах, вряд ли приведут к взаимодействию вероятностей. Но альтернативы нет. Просто собирая дополнительную информацию мы не разрешим разногласия об истинности той или иной гипотезы. Добиться прогресса можно только путем философского осмысления огромного количества вероятностей, имеющейся информации и того, насколько она поддерживает одну вероятность по сравнению с другой.
Презентация по математике «Теория вероятности. Симметричная монета»
Описание разработки
В данной работе рассматривается решение задачи В6 по теме «Симметричная монета». Учащимся предлагается 2 способа решения:
1) Метод перебора комбинаций;
2) Специальная формула вероятности.
Монета (лат. moneta) — денежный знак, изготовленный из металла либо другого материала определённой формы, веса и достоинства. Кроме полноценных монет выпускаются разменные, коллекционные, памятные и инвестиционные монеты. Чаще всего монеты изготавливаются из металла методом чеканки и имеют форму правильного круга.
Почти каждая монета имеет лицевую сторону — аверс, и оборотную сторону — реверс.
Аве́рс (фр. avers, лат. adversus — «обращённый лицом») — лицевая, главная сторона монеты.
Общепринятым в современных монетных каталогах считается определение аверса по следующим признакам по убыванию важности:
Портрет главы государства, монарха, монетного сеньора или другого обладателя монетной регалии.
Государственный герб, эмблема и т. п. При этом, если на обеих сторонах монеты изображены гербы, то за аверс принимается та, на которой изображён герб, более высокий по рангу и положению. Например, на монетах португальских колоний на аверсе обычно изображался герб Португалии, а на реверсе — герб колонии.
Легенда с названием страны, территории.
Легенда с именем обладателя монетной регалии, либо обозначение банка-эмитента.
Задачи на подбрасывание монет считаются довольно сложными. Тем не менее, существует как минимум два принципиально различных метода решения:
Метод перебора комбинаций — стандартный алгоритм. Выписываются все комбинации орлов и решек, после чего выбираются нужные;
Специальная формула вероятности — стандартное определение вероятности, специально переписанное так, чтобы было удобно работать с монетами.
При решении задачи B6 для подготовки к ЕГЭ по математике надо знать оба метода.
1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Решение: Рассмотрим возможные исходы двух бросаний монеты.
Это все возможные события, других нет.
Нас интересует вероятность 2-го или 4-го события.
Всего возможных исходов 4.
Благоприятных иcходов – 2.
Содержимое разработки
Шмидт Наталья Александровна
Монета (лат. moneta ) — денежный знак, изготовленный из металла либо другого материала определённой формы, веса и достоинства. Кроме полноценных монет выпускаются разменные, коллекционные, памятные и инвестиционные монеты. Чаще всего монеты изготавливаются из металла методом чеканки и имеют форму правильного круга.
Почти каждая монета имеет лицевую сторону — аверс, и оборотную сторону — реверс.
Общепринятым в современных монетных каталогах считается определение аверса по следующим признакам по убыванию важности:
Орёл (не тождествен аверсу ) — в дореволюционной России так именовалась в обиходе сторона монеты с изображением государственного герба. Первые общегосударственные монеты мелких номиналов, появившиеся после денежной реформы Петра I, несли на аверсе изображение двуглавого орла.
Ре́верс (лат. revertor — «поворачиваю назад») — оборотная сторона монеты, противоположная аверсу.
Реверсом принято считать сторону с номиналом монеты, хотя бывает, когда сторона с номиналом является аверсом. Реверс не тождественен решке.
Монета с точки зрения теории вероятностей лишена многих качеств настоящей монеты. У неё нет цвета, размера, веса и достоинства. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платежным средством. Математическая монета имеет только две стороны, одна из которых называется «орел», а другая — «решка». Монету бросают, и она падает одной из сторон вверх.
Задачи на подбрасывание монет считаются довольно сложными. Тем не менее, существует как минимум два принципиально различных метода решения:
При решении задачи B6 для подготовки к ЕГЭ по математике надо знать оба метода.
Метод перебора комбинаций
Состоит из трех шагов:
1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение: Рассмотрим возможные исходы двух бросаний монеты.
Бросание монет. Решение задач на нахождение вероятности
Кстати, сразу упомяну, что в контексте подобных задач не существенно, написать «бросают 3 монеты» или «бросают монету 3 раза», результат (в смысле вычисления вероятности) будет один и тот же (так как результаты бросков независимы друг от друга).
1. Классическое определение вероятности
Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Пример 2. Дважды бросают симметричную монету. Найти вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.
Как видим, все довольно просто. Перейдем к чуть более сложной задаче.
Пример 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.
Взяли разгон и переходим к 4 монетам.
Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.
Думаю, к этому времени вы уже поняли суть метода и сможете сами решить задачи, где бросаются 2-3-4 монеты и орел не выпадает ни разу, или решка ровно один раз и т.п.
2. Комбинаторика + классическая вероятность
Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.
Конечно, этот подход кажется сложнее из-за более формального математического описания решения, но гораздо легче масштабируется.
Например, если рассмотреть подобную задачу:
Пример 5. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 4 раза
Ради полноты изложения приведу еще пример задачи, решаемой подобным образом (но если хотите, можете сразу переходить к более простому способу 3).
Пример 6. Монету подбрасывают 6 раз. Найти вероятность того, что гербы выпадут два раза и только подряд, а в остальные разы будут только решки.
Способ 3. Формула Бернулли
А теперь все задачи решаются проще простого, вот глядите!
Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.
Пример 7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
Пример 8. Пусть бросают 8 монет. Найти вероятность того, что орел не менее 7 раз.
Таким образом, используя одну простейшую формулу, можно решать множество задач, причем неважно, 3 монеты бросается, или 30, сложность расчетов примерно одинакова. Но, если число бросков становится очень большим, удобнее использовать приближенные формулы Муавра-Лапласа, о которых можно узнать здесь.
Полезные ссылки
Решебник по вероятности
А здесь вы найдете более 200 задач о бросании монет с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):