Сформулируйте определение числовой функции одной переменной что такое график одной переменной

Тема 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.1. Определение функции одной переменной

Определение. Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X определена функция y = f ( x ) с областью определения X = D( f ) и областью изменения Y = E ( f ). При этом x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой переменной или функцией.

Частным значением функции y = f ( x ) при фиксированном значении аргумента x = x₀ называют y ₀ = f ( x ₀ ).

1.2. Способы задания функции

1) Аналитический способ – способ задания функции с помощью формулы.

Различают несколько способов аналитического задания функции:

а) Функция задана явно формулой y = f ( x ).

б) Функция задана неявно уравнением, связывающем x и y : F( x ; y ) = 0.

Например: можно задать окружность с помощью параметрических уравнений:

3) Графический способ задания функции, когда зависимость функции от её аргумента задаётся графически.

1.3. Сложная и обратная функции

1.4. Элементарные функции

Основные элементарные функции:

Обратные тригонометрические функции :

Элементарной функцией называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции.

Например: – элементарная функция.

Графики обратных тригонометрических функций:

Источник

Что такое Функция?

7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.

1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.

Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.

2. Функция — это определенное действие над переменной.

Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.

В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:

В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.

3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.

Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида

область определения выглядит так:

И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.

Источник

3.1. Определение функции одной переменной и её свойства

Повторим понятия функции и её свойства, которые нам потребуются для дальнейшего изложения материала.

Определение. Функция F(X) представляет собой правило, которое позволяет каждому значению хХ поставить в соответствие единственное значение Y = F(X)У, где х – независимая переменная (аргумент), Y – зависимая переменная (значение функции). Говорят, что функция F имеет Область определения D(F)=X и Область значений R(F)Y.

Существует три основных способа задания функции:

 при Аналитическом способе задания функции зависимость между переменными определяется формулой;

 при Табличном способе задания функции выписываются в определенном порядке значения аргумента и соответствующие значения функции;

 при Графическом способе задания функции зависимость между переменными отражается с помощью графика.

Рассмотрим некоторые функциональные зависимости, используемые в экономике:

 Функция спроса – зависимость спроса D на некоторый товар от его цены P;

 Функция предложения – зависимость предложения S некоторого товара от его цены P;

 Функция полезности – субъективная числовая оценка данным индивидом полезности И и количества Х товара для него;

 Функция издержек – зависимость издержек I на производство Х единиц продукции;

 Налоговая ставка – зависимость налоговой ставки N в процентах от величины годового дохода Q.

Все эти функции, кроме последней, весьма трудно выразить аналитически. При необходимости их находят путем кропотливого анализа. Последняя же функция, напротив, обычно довольно хорошо известна всему обществу и законодательно утверждена.

Определение. Функция F(X) имеет предел B, когда х стремится к а, если значения F(X) сколь угодно близко приближаются к числу B, когда значения переменной х сколь угодно близко приближаются к числу а.

Обозначение. .

Следует отметить, что в этом определении рассматриваются значения Х, сколь угодно близкие к числу А, но не совпадающие с А.

Определение. Если функция F(X) определена в точке а и выполняется равенство , то F(X) называется непрерывной функцией в точке а.

Определение. Функция, непрерывная в каждой точке своей области определения, называется Непрерывной функцией. В противном случае функцию называют Разрывной.

График непрерывной функции можно начертить без отрыва руки.

Непрерывные функции обладают следующими свойствами:

 сумма или произведение непрерывных функций является непрерывной функцией;

 отношение двух непрерывных функций является функцией непрерывной во всех точках, в которых знаменатель отношения не обращается в нуль.

Замечание. Метод, эффективный при анализе непрерывных функций, может оказаться неэффективным при исследовании разрывных функций, хотя обратное не исключается.

 Если первая производная функции Всюду на этом интервале, то функция возрастает на нем;

 Если первая производная всюду на этом интервале, то функция убывает;

 Первая производная Всюду на этом интервале, то функция постоянна на этом интервале.

Определение. Возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие функции называются Монотонными.

Замечание. Монотонная функция не обязательно должна быть непрерывной.

Решение. Находим производную: Решим уравнение . Получим Х1=0, х2=1, х3=-1. Функция F(X) определена и непрерывна на всей числовой оси. Поэтому точки Х1, х2, х3 являются критическими точками. Других критических точек нет, так как существует всюду.

Исследуем критические точки, определяя знак слева и справа от каждой этой точки. Для сокращения вычислений и для наглядности это исследование удобно записать в виде табл. 1:

Источник

Понятие функции одной переменной

Рассмотрим сначала понятие переменной величины, или просто переменной.

Переменная величина х определяется множеством тех значений, которые она может принять в рассматриваемом случае. Это множество X назовем областью изменения значений переменной x.

Главным предметом изучения в математике является, однако, не изменение одной переменной самой по себе, а зависимость между двумя или несколькими переменными при их совместном изменении. Во многих случаях переменные не могут принимать любую пару значений из своих областей изменения; если одной из них придано конкретное значение, то этим уже определяется и значение другой. Тогда первая из них называется независимой, а вторая – зависимой переменной.

Пусть даны две переменные x и y с областями изменения X и Y. Если при этом каждому элементу x X по определенному правилу f поставлен в соответствие единственный элемент y Y, то говорят, что на множестве X задана функция y = f(x).

Ясно, что при этом переменная x является независимой переменной. Ее часто называют аргументом функции.

Переменная y является зависимой переменной и называется значением функции, или просто функцией.

Множество X называется областью определения функции, а множество Y — областью ее значений.

Существует ряд способовзадания функции:

а) наиболее простой — аналитический способ, т. е. задание функции в виде формулы. Если область определения функции X при этом не указана, то под X подразумевается множество значений x, при которых формула имеет смысл;

б) графическийспособ. Этот способ особенно нагляден. Для функции одной переменной y = f(x) используется координатная плоскость (xy).

Совокупность точек y, соответствующих заданным значениям x, определяет график функции на плоскости (xy);

в) табличный способ. Он часто используется, когда независимая переменная x принимает лишь конечное число значений.

5.2. Основные свойства функций

Рассмотрим основные свойства функций, которые упрощают проведение их исследования:

Четность. Функция y = f(x) называется четной, если для любого значения x, принадлежащего области определения функции X, значение (–x) тоже принадлежит X и при этом выполняется

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого x X следует (–x) X и при этом

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если функция y = f(x) не является ни четной, ни нечетной, то ее часто называют функцией общего вида.

Монотонность. Функция y = f(x) называется возрастающейна некотором интервале (a, b), если для любых x₁, x₂ (a, b), таких,

Возрастающую и убывающую на интервале (a,b) функции называют монотонными на этом интервале, а сам интервал (a,b) — интервалом монотонности этих функций.

В некоторых учебниках такие функции называют строго монотонными, а монотонными называют неубывающую и невозрастающую на рассматриваемом интервале функции (вместо строгих неравенств для функций пишутся нестрогие).

Ограниченность. Функция y = f(x) называется ограниченной на интервале (a, b), если существует такое число С > 0, что для любого x (a, b) следует |f(x)| 0 существует такой x (a, b), что |f(x)| > C. На рис. 5.1 показан график функции, ограниченной на интервале (a, b).

Аналогичное определение ограниченности можно дать для любого вида промежутка.

Периодичность.Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое число t, что для любого x X выполняется

Наименьшее из таких чисел t называется периодом функции и обозначается Т.

Характерным признаком периодичности функций является наличие в их составе тригонометрических функций.

5.3. Элементарные функции и их графики

К элементарным функциям относятся:

а) простейшие элементарные функции

1. Константаy = c, где с — постоянное для данной функции действительное число, одно и то же для всех значений x.

2. Степенная функция , где — любое постоянное действительное число, кроме нуля. Вид графиков функций при некоторых целых положительных ( = n), целых отрицательных ( = –n) и дробных ( = 1/n) значениях представлен ниже.

-1

3. Показательная функция y = a x (a > 0; a 1).

4. Логарифмическая функция y = log_a x (a > 0; a 1).

5. Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

6. Обратные тригонометрические функции.

y = arcsin x y = arccos x

Кроме перечисленных простейших элементарных функций аргумента x к элементарным функциям также относятся функции, аргументами которых являются тоже элементарные функции, а также функции, полученные путем выполнения конечного числа арифметических действий над элементарными функциями. Например, функция

тоже является элементарной функцией.

Функции, аргументами которых являются не независимые переменные, а другие функции, называются сложными функциями или суперпозициями функций. Пусть даны две функции: y = sinx и z = log₂ y. Тогда сложная функция (суперпозиция функций) может иметь вид

Также можно ввести понятиеобратной функции.Пусть y = f(x) задана в области определения X, а Y — множество ее значений. Выберем какое-нибудь значение y = y₀ и по нему найдем x₀ так, чтобы y₀ было равно f(x₀).Подобных значений x₀ может оказаться и несколько.

Таким образом, каждому значению y из Y ставится в соответствие одно или несколько значений x. Если такое значение x только одно, то в области Y может быть определена функция x = g(y), которая называется обратной для функции y = f(x).

Следовательно, функция x = log_a y является обратной для функции y = a x на множествах X и Y. Так как принято у любой функции независимую переменную обозначать x, то в этом случае говорят, что y = f(x) и y = g(x) — обратные функции.

Графики функции y = f(x) и обратной ей функции y = g(x) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Источник

Дифференциальное исчисление функции одной переменной с примерами решения и образцами выполнения

Страница содержит справочный материал по курсу «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», подробно разобраны методы решения типовых задач.

Определение производной

1°. Производная непрерывной функции в точке определяется по следующему алгоритму.

1) Вычислить

2) Составить приращение функции соответствующее приращению аргумента

3) Составить отношение приращений

4) Найти предел

Если предел существует и конечен, то он обозначается и называется производной функции в точке , а функция называется дифференцируемой в точке .

2°. Если вместо фиксированной точки хо взять переменную величину х, то производная

будет функцией от х.

Число можно получить также подстановкой в выражение для ; это обозначается так:

Например, если у = С (С — константа), то

Геометрическая, механическая и экономическая интерпретации производной

1°. Выясним геометрический смысл отдельных пунктов определения производной, исходя из рис. 7.1, где изображен график Г возрастающей функции, а Имеем: — угловой коэффициент секущей AM, проведенной через фиксированную точку и переменную точку При или точка М(х,у) приближается к А вдоль Г, а секущая AM превращается в касательную t с угловым коэффициентом (рис. 7.1):

Вывод. Существование производной равносильно существованию касательной t к Г в точке , и есть ее угловой коэффициент. Уравнение касательной t имеет вид

2°. Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания , называется нормалью к кривой Г. Уравнение нормали п имеет вид

3°. Если S = S(t) — путь, пройденный материальной точкой М за время t, то — путь, пройденный М за время — средняя скорость движения за время , а производная

— мгновенная скорость точки М в момент времени t.

4°. Пусть обозначает прибыль, полученную в результате вложения в некоторое производство х денежных единиц (д. ед.). Дополнительное вложение h д. ед. изменит (увеличит или уменьшит) прибыль на Тогда прибыль на одну д. ед. вложения равна При достаточно малом h приходим к

— коэффициент изменения прибыли, показывающий динамику ее изменения; называется маргинальной прибылью, соответствующей затраченной сумме х.

Примеры с решениями

Пример:

Составить уравнения касательной и нормали к параболе в точке A(1, 7).

Решение:

Точка А( 1,7) лежит на параболе. Находим Следовательно (см. п. 1°), уравнение касательной имеет вид у = 7 + 6(х — 1), т.е. у = 6х + 1, а уравнение нормали (см. п. 2°)

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через точку В(-1,2) касательно параболе

Решение:

Точка В(-1,2) не лежит на параболе, поэтому способ, приведенный выше, неприменим. Обозначим через ) точку касания искомой касательной с параболой. Тогда — угловой коэффициент этой прямой. Равенство означает, что прямая, касательная к параболе, проходит через точки В(-1,2) и , а равенство означает, что лежит на параболе. Из этих двух уравнений находим:

т.е Отсюда Таким образом, точками касания на параболе могут быть Уравнения касательных можно составить по двум парам точек Сами уравнения имеют вид у = —2х, у = 6х + 8.

Связь дифференцируемости с непрерывностью

1°. Напомним: функция, имеющая конечную производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке, в противном случае — недифференцируемой.

Теорема:

Если функция дифференцируема в данной точке, то в этой точке она непрерывна.

Из существования следует, что (непрерывность), так как в противном случае либо не существует.

2°. Функция, непрерывная в данной точке, не обязательно дифференцируема в этой точке.

функция в точке х = 0 непрерывна; она определена только поэтому можно брать только Имеем

функция имеет в точке х = 0 бесконечную производную и потому не дифференцируема в этой точке. Касательная к графику Г перпендикулярна к оси Ох.

3°. Функция, дифференцируемая в каждой точке данного интервала, называется дифференцируемой в этом интервале. Функция с непрерывно изменяющейся производной (касательной) называется гладкой. График функции у = |x| не гладкий при х=0 (имеет угол).

Таблица производных и правила дифференцирования

1°. Дифференцирование основных элементарных функций осуществляется при помощи следующих формул:

Формулы 16)-18) являются частными случаями 3). Все формулы необходимо знать наизусть.

2°. Функции, составленные из основных при помощи арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) и композиции (функция от функции), дифференцируются по правилам:

5) если f(u) и и = u(x) — дифференцируемые функции, то производная сложной функции

Примеры с решениями

(во всех примерах найти у’)

Пример:

Решение:

Применяем правила 1) и 2), а также формулы 3) и 1):

Пример:

Сначала преобразуем:

Теперь дифференцируем, используя формулы 1), 16), 3) и правила

Пример:

Решение:

Имеем производную произведения (правило 3)) функций, содержащихся в формулах 4) и 9):

Пример:

Решение:

Применяем правило 4), формулы 10), 5), 16). Производная частного:

Пример:

Решение:

Применяем правило 4), частный случай, и формулу 13).

Пример:

Решение:

Применяем правило 5), формулы 14) и 16). Положим

Пример:

Решение:

Положим и применим правило 5). Получаем

Пример:

у = cos Inx.

Решение:

Обозначим Находим

Пример:

Решение:

Дифференцируем частное двух сложных функций:

Пример:

Решение:

Имеем дело с производной произведения сложных функций:

Примечание:

При дифференцировании функций, состоящих из большого количества множителей, или функций вида рекомендуется предварительное логарифмирование.

Пример:

Решение:

Находим сначала ln у, затем продифференцируем обе части полученного равенства, причем левую часть lп y(х) — как сложную функцию:

Пример:

Решение:

Берем логарифм обеих частей равенства Дифференцируем:

Дифференциал функции и ее линеаризация

1°. Дифференциалом дифференцируемой функции называется произведение ее производной на произвольное приращение аргумента:

Для функции у = х ее дифференциал равен

Дифференциал аргумента совпадает с его произвольным приращением, поэтому дифференциал функции записывают в виде

Например, если

Из определения дифференциала функции можно записать новое, формальное определение производной:

Это обозначение принято в дифференциальных уравнениях.

2°. Из рис. 7.1 видно, что — приращение ординаты касательной при переходе точки х от к При дифференциал — бесконечно малая величина. Дифференциал функции аппроксимирует приращение функции, т.е. если то

Отсюда получаем приближенное равенство

которое называется линеаризацией функции f(x) в точке х. Геометрически это означает замену дуги Г графика функции f(x) отрезком касательной t, что возможно при достаточно малых

3°. Линеаризацию функции в фиксированной точке можно использовать в приближенных вычислениях:

Примеры с решениями

Пример:

Вычислить приближенно значение функции при х = 1,97.

Решение:

Принимаем = 2. Тогда Далее,

Так как и, согласно формуле п. 3°, имеем

Пример:

Вычислить приближенно увеличение объема цилиндра с высотой H = 40 см и радиусом основания R = 30 см при увеличении радиуса на 0,5 см.

Решение:

Объем цилиндра V при постоянной высоте H и переменном радиусе х есть функция от х: При х=R=30 имеем Приращение объема цилиндра заменим его дифференциалом:

Пример:

Найти дифференциал функции Вычислить величину дифференциала в точке х = 0.

Решение:

Производные и дифференциалы высших порядков

1°. Предположим, что производная функции есть дифференцируемая функция. Тогда ее производная называется второй производной функции и обозначается Производные высших порядков определяются последовательно: Обозначения могут быть также:

Если у = cosx, то производную любого порядка этой функции найдем следующим образом:

2°. Дифференциалы высших порядков определяются так:

Дифференцирование обратных функций. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически

1°. Пусть у = f (х) — функция, определенная и непрерывная на отрезке [а; b] и f (а) = A, f(b) = В. Если различным значениям соответствуют разные значения (или ), то функция у= f (х) обратима, т.е. имеет обратную функцию, обозначаемую При этом непрерывна на отрезке [А; В].

Например, функция обратима на каждом из двух лучей , при этом и

у = tgx обратима в интервале или в любом другом интервале , где k — фиксированное целое число при этом х = arctg у или

2°. Если различным значениям соответствует одно значение , то функция у = f (х) имеет несколько обратных функций.

Например, непрерывная функция имеет две непрерывные обратные функции непрерывная функция имеет бесконечное множество непрерывных обратных функций

3°. Если у = f(x) дифференцируема на отрезке [а; b] и то обратная функция также дифференцируема на [А; В] и

Например, пусть тогда для
обратной функции имеем

это согласуется с тем, что

если для обратной функции имеем

5°. Если функция у = у(х) задается параметрически, т.е. при помощи двух функций аргумента t, a x (t) и y(t) — дифференцируемые функции, то производную у’ = у'(х), обозначаемую еще , находим при помощи дифференциалов:

Вторую производную можно найти при помощи одной из двух формул (они основаны на производной сложной функции, дроби и обратной функции ):

Примеры с решениями

Пример:

Решение:

Считаем, что у = у(х). Продифференцируем левую часть данного уравнения как сложную функцию, приравняем нулю полученное выражение и найдем у’:

Пример:

Найти у’, если Найти также у'(0).

Решение:

Дифференцируем обе части данного равенства, имея в виду, что откуда находим

В частности, если х = 0, то у =1 и

Пример:

Для функции у(х), определенной неявно уравнением найти у».

Решение:

После двух последовательных дифференцирований данного уравнения с учетом у = у (х) получаем

Из второго равенства находим

Из первого равенства находим

и подставляем это в предыдущее равенство. После упрощения получаем

Пример:

Найти у’ и у», если

Решение:

При помощи первой из формул для находим

Пример:

Решение:

Для определения у» будем использовать вторую формулу. Сначала находим:

Основные теоремы дифференциального исчисления

1°. Точка называется точкой относительного максимума (минимума) функции f (х), если в некоторой окрестности этой точки имеет место неравенство Точки относительного максимума и минимума f(x) называются точками экстремума, а значения в этих точках — экстремальными значениями. На рис. 7.2 изображен график функции с тремя экстремумами.

Теорема Ферма:

Если дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум в точке ,

В точке экстремума касательная горизонтальна, а для нее

Теорема Ролля:

Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [а,b], дифференцируема в интервале (а,b) и f(a) = f (b). Тогда существует хотя бы одна точка , в которой f ‘(с) = 0. Такая функция либо постоянная, т.е. f(x) = С, и тогда f'(x) = 0, х [а; b], либо имеет хотя бы одну точку экстремума с (а; b), и тогда f ‘(с) = 0.

Теорема Лагранжа:

Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и дифференцируема в интервале (а; b). Тогда существует хотя бы одна точка с € (а; b), такая, что f(b)-f(a)=f'(c)(b-a), или

Геометрически теорема 4 означает что на кривой существует хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна хорде АВ, f ‘(с) — ее угловой коэффициент (рис. 7.3).

Теорема Коши:

Пусть f(x) и g(x) — две функции, непрерывные на отрезке [а; b] и дифференцируемые в интервале (а; b), причем. Тогда существует хотя бы одна точка, такая, что

Примеры с решениями

Пример:

Проверить, справедлива ли теорема Ролля для функции на отрезке [-6; 4], и если да, то найти соответствующее значение с.

Решение:

непрерывна и дифференцируема на любом отрезке, в частности, на [—6; 4], и f (6) = f (4) = 31. Значит, f'(x) = 2х + 2 = 0 при некотором х € (-6; 4). Имеем х = с = — 1.

Пример:

Найти точку с, о которой идет речь в теореме Лагранжа, для функции на отрезке [-1;3].

Решение:

Нам надо решить уравнение у’ = 2x + 6 = 8. Находим х = 1, т. е. с имеет координаты (1,8). Касательная в этой точке параллельна хорде АВ.

Пример:

Решение:

Пример:

Составить уравнения касательной и нормали к кривой проведенных в точке с ординатой у = 1 и отрицательной абсциссой.

Решение:

При у = 1 находим х = —1 и х = 1. В задаче идет речь о точке A(-1,1). Находим у’ из уравнения . Имеем отсюда а значит, подставляя сюда х =- 1, y=1 получаем

Пример:

Составить уравнения касательной и нормали к эллипсу проведенных в точке, получаемой при

Решение:

Исследование на монотонность и экстремум

1°. Предположим, что функция f(x) непрерывна в интервале (а; b) и — любые две точки этого интервала, причем

Функция f(x) называется в этом интервале:

— возрастающей (неубывающей), если

— убывающей (невозрастающей), если

— монотонной, если она либо возрастающая (неубывающая), либо убывающая (невозрастающая).

Например, функция в интервале монотонно убывает, в монотонно возрастает, в не является монотонной (рис. 7.4).

Теорема:

Если f ‘(х) > 0 при , то f (х) монотонно возрастает в этом интервале. Если f'(x)

— критические точки f (х). На верхней оси диаграммы (рис. 7.5) обозначено распределение знаков f ‘(х), а на нижней — поведение функции f (х) согласно теоремам 6 и 7.

Ответ. В интервалах монотонно возрастает в интервале монотонно убывает, х = 0 — точка максимума с точка минимума с

Исследовать на монотонность и экстремумы функцию Найти также наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [—1;5].

Решение:

Находим у’ и исследуем ее знак:

Раскрытие неопределенностей

1°. Неопределенности видов

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х = а, кроме, быть может, самой точки а (при этом а может быть конечным числом или ). Предположим, что

Правило Лопиталя. Если существует предел то существует и предел

Правило Лопиталя позволяет при помощи производных раскрыть неопределенность: в случае 1) вида , а в случае 2) — вида

При необходимости правило Лопиталя можно применить повторно или несколько раз при соответствующих условиях на и т.д.

Например, вычислим пределы:

В первом случае имеем неопределенность вида , во втором —

вида . В том и другом случае условия применимости правил Лопиталя удовлетворяются. Переход к производным по ходу решения примеров будем отмечать знаком . Переходим к вычислениям, замечая заранее, что во втором примере правило Лопиталя применим дважды.

2°. При помощи правила Лопиталя можно раскрыть неопределенности других видов: Для этого исходные выражения необходимо приводить к виду .

В нижеследующих примерах необходимые преобразования выполним по ходу решения. Заметим, что иногда приходится избавляться от «мешающих» множителей — это делается при помощи теоремы о пределе произведения.

Примеры с решениями

Пример:

Визуальный обзор указывает на наличие разных неопределенностей.

Решение:

Здесь мы избавились от множителя х, усложняющего производную, и дважды применили правило Лопиталя.

Рекомендуем вычислить этот предел при помощи замены х = —t

в) Найдем предел логарифма выражения, стоящего под знаком предела. Воспользуемся теоремой о возможности перехода к пределу под знаком непрерывной функции:

Вывод: искомый предел равен е° = 1.

г) Этот пример, как и предыдущий, можно решить при помощи основного показательно-логарифмического тождества: Следовательно,

Для компактности выражений берем отдельно предел показателя:

Получили два различных односторонних предела, следовательно, искомый предел не существует. Тем не менее зафиксируем односторонние пределы:

Асимптоты

Вертикальные асимптоты

Напомним, что если х = а — точка разрыва функции f(x) и то прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика этой функции.

Примеры с решениями

Требуется определить точки разрыва данной функции, исследовать их характер, найти вертикальные асимптоты и построить график в окрестности точки разрыва.

Пример:

Решение:

Пример:

Решение:

— точки разрыва. Рассмотрим отдельно

Ответ, x = 0 — точка разрыва первого рода со скачком — точки разрыва второго рода. Прямые — вертикальные асимптоты: вверх при k > 0, вниз — при k

Пример:

Решение:

x = 0 и x = 1 — точки разрыва,

Ответ, х = 0, х =01 — точки разрыва второго рода, прямые х = 0, х = 1 — вертикальные асимптоты (рис. 7.9).

Наклонные асимптоты. Горизонтальные асимптоты

Прямая с уравнением у = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции f(x), если (возможно

После деления на х выражения, стоящего под знаком предела, и перехода к пределу получаем

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при т. е. это прямая у = b, если

Примеры с решениями

Требуется найти наклонные асимптоты графика данной функции, если они есть.

Пример:

Решение:

y = х + 3 — наклонная асимптота.

Пример:

Решение:

Функция определена только при Наклонной асимптоты нет, поскольку

Пример:

Решение:

Данная функция определена при x > 0, поэтому означает

у = 0 — горизонтальная асимптота (вправо, ).

Исследование функций на выпуклость, вогнутость и перегиб при помощи второй производной

1°. Дифференцируемая функция f (х) называется выпуклой (вогнутой) в некотором интервале, если ее график расположен ниже (выше) касательной, проведенной в каждой его точке с абсциссой в этом интервале.

Теорема:

Если f»(x) 0, , то f(x) вогнутая в (а; b).

2°. Точка графика непрерывной функции f(x), отделяющая участок выпуклости от участка вогнутости, называется точкой перегиба.

Теорема:

Если f»(x) 0 при или наоборот, то — абсцисса точки перегиба функции f(x).

Следует из теоремы 9.

Примеры с решениями

Пример:

Исследовать на выпуклость, вогнутость и перегиб функцию

Решение:

Имеем: Знаки у» указаны на числовой прямой.

Пример:

Исследовать на выпуклость, вогнутость и перегиб функцию

Решение:

Надлежит исследовать знак второй производной.

Применение высших производных

1°. Запись означает, что функция f(x) непрерывна в интервале вместе со всеми ее производными порядка 1,2, …п включительно, п € N.

2°. Многочлен степени не выше п

называется многочленом Тейлора функции f(x) с центром в точке х = а, если его коэффициенты вычисляются по формулам

Теорема Тейлоро:

Если , то имеет место равенство

— остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа. Величина Rn(x) — бесконечно малая порядка (п+1) относительно (х — а) в окрестности точки а.

При а = 0 многочлен Тейлора называется также многочленом Маклорена. Многочлен Тейлора-Маклорена служит достаточно хорошим средством приближенного представления функции и широко применяется в приближенных вычислениях.

3°. Многочлены Маклорена для некоторых из элементарных функций имеют следующий вид (рекомендуется получить их и знать).

Эта формула называется биномом Ньютона. Множители

— биномиальные коэффициенты — находят широкое применение в комбинаторике и теории вероятностей.

Здесь и далее

Примеры с решениями

Пример:

Вычислить с точностью до значение sin20°.

Решение:

Число членов в правой части следует брать из условия

Ответ.

Пример:

Многочлен разложить по целым положительным степеням бинома х — 2.

Решение:

Пример:

Написать многочлен Тейлора третьей степени с центром в точке х = 3 для функции

Решение:

где Сначала найдем производные:

Вычислим теперь .

Исследование функций и построение графиков

Построению графика данной функции у = f (х) предшествует полное ее исследование, включающее выявление характерных свойств и особенностей этой функции. К ним относятся: область определения D = D ( f ), область изменения E(f), непрерывность, дифференцируемость, четность, нечетность, ограниченность, периодичность функции, ее интервалы знакопостоянства, монотонности, выпуклости/вогнутости, наличие асимптот (вертикальных, горизонтальных, наклонных). Кроме этого, необходимо определить характерные точки: разрыва, пересечения графика с координатными осями, точки экстремума (максимума, минимума), точки перегиба и проч.

Приведем сначала определения тех понятий, которые не встречались выше.

Напомним, что функция у = f (х) называется:

— периодической, если существует число Т > 0, такое, что

Исследование функции выполняется по определенной схеме, пункты которой установим по ходу исследования. Заметим, что если по некоторым признакам мы не имеем позитивной информации, то соответствующий пункт может быть опущен.

Примеры построения графиков

Пример:

Исследовать функцию и построить ее график.

1) Находим область определения:

2) Простейшие свойства — четность, нечетность, периодичность, ограниченность. Таких свойств не обнаруживаем.

3) Определим точки пересечения графика с координатными осями и интервалы знакопостоянства функции.

5) Исследуем функцию на монотонность и экстремум (рис. 7.13):

х = 3 — точка max, В интервалах функция убывает, а в интервале (— 1; 3) она возрастает.

Везде «не сущ.» означает «не существует».

6) Исследуем на выпуклость, вогнутость и перегиб (рис. 7.14)

х = 5 — абсцисса точки перегиба, . В интервалах функция выпуклая, а в интервале — вогнутая.

7) Исследуем поведение функции на бесконечности и определим горизонтальные и (или) наклонные асимптоты. Имеем: — горизонтальная асимптота в обе стороны.

8) Результаты исследования поместим в таблицу для компактности:

В первую строку таблицы заносим точки разрыва, экстремума, перегиба и интервалы между ними. Во второй строке располагается
информация о f'(x) и ее знаках, в третьей строке о f»(x) и ее знаках. Третья строка показывает вид графика в соответствующих интервалах и характерные его точки.

9) Построение графика начинается с построения асимптот и точек с известными координатами (рис. 7.15). Приближение графика к асимптоте должно быть плавным и создавать впечатление неограниченного продолжения.

Пример:

Исследовать функцию построить ее график.

2) График пересекает ось Ох, если т.е. при а ось Оу при Интервалы знакопостоянства обозначены на рис. 7.16 «волной» знаков функции

х =-2 — вертикальная асимптота вверх и вниз.

Точек перегиба нет, схема выпуклости/вогнутости представлена на рис. 7.18.

6) Имеем Горизонтальной асимптоты нет. Далее,

уравнение наклонной асимптоты в обе стороны.

8. График построен (рис. 7.19).

Примечание. Последовательность действий может быть изменена (вертикальные асимптоты можно искать параллельно с горизонтальными и наклонными), а некоторые пункты схемы могут быть опущены, если это не влияет на выводы исследования.

Пример:

Исследовать функцию и построить ее график.

Укажем основные элементы исследования и приведем график.

1) — точки разрыва.

2) Функция четная, так как

График функции симметричен относительно оси Оу.
3) — вертикальная
асимптота вниз и вверх (х =-1 — вертикальная асимптота вверх и вниз, по четности).

5)

Точек перегиба нет, схема выпуклости/вогнутости представлена на рис. 7.20, б.
6) — горизонтальная асимптота. Общий вид функции показан на рис. 7.21.

Пример:

(рис. 7.22).

Никаких асимптот нет.

Пример:

— четная, х € R (рис. 7.23). — точка максимума, точка перегиба, — горизонтальная асимптота.

Пример:

у = 2 sin x + cos2x (рис. 7.24).

Функция определена при имеет период

Исследование на экстремум проводим по такому признаку. Если — стационарная точка и то — точка mах (min).

Функция имеет 4 стационарных точки: Определим знак у» в них:

Функция не имеет асимптот.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник