Dabc правильная треугольная пирамида докажите что скрещивающиеся ребра dc и ab перпендикулярны
Dabc правильная треугольная пирамида докажите что скрещивающиеся ребра dc и ab перпендикулярны
В пирамиде DABC прямые, содержащие ребра DA и BC, перпендикулярны.
а) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку E — середину ребра DB, и параллельно DA и BC. Докажите, что получившееся сечение является прямоугольником.
б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если DA = 20, BC = 10.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В пирамиде DABC прямые, содержащие ребра DC и AB, перпендикулярны.
а) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку E — середину ребра DB, и параллельно DC и AB. Докажите, что получившееся сечение является прямоугольником.
б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если DC = 24, AB = 10.
а) Построим прямые 
такие что: 
тогда 
искомое сечение параллелограмм 
Покажем, что EKFM прямоугольник:
б) Заметим, что 
и E — середина DB, тогда EK — средняя линия треугольника 
Значит, 
аналогично 
Так как EKMF прямоугольник, получаем:
Пусть прямая MK пересекает прямую EF в точке O, тогда: 
Заметим, что 
(чтобы косинус в ответе получился положительным, а полученный угол —острым). Применим теорему косинусов в треугольнике 
Откуда 
Ответ: 
Идея окончания решения Игоря Калинкина.
Можно найти площадь сечения, перемножив стороны прямоугольника и приравнять полученное произведение к формуле площади параллелограмма через диагонали ( 
где α — угол между диагоналями). Выразив отсюда синус угла между диагоналями и найдя арксинус, получим 
Идея окончания решения Марины Максимовской.
Рассмотрим равнобедренный треугольник МОЕ, проведём высоту к МЕ. В получившемся прямоугольном треугольнике выразим тангенс половины нужного угла. Половина нужного угла получится 
тогда весь угол — 
Аналоги к заданию № 509423: 509444 511590 Все
Dabc правильная треугольная пирамида докажите что скрещивающиеся ребра dc и ab перпендикулярны
В пирамиде DABC прямые, содержащие ребра DA и BC, перпендикулярны.
а) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку E — середину ребра DB, и параллельно DA и BC. Докажите, что получившееся сечение является прямоугольником.
б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если DA = 20, BC = 10.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В пирамиде DABC прямые, содержащие ребра DC и AB, перпендикулярны.
а) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку E — середину ребра DB, и параллельно DC и AB. Докажите, что получившееся сечение является прямоугольником.
б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если DC = 24, AB = 10.
а) Построим прямые такие что: тогда искомое сечение параллелограмм Покажем, что EKFM прямоугольник:
б) Заметим, что и E — середина DB, тогда EK — средняя линия треугольника Значит, аналогично Так как EKMF прямоугольник, получаем:
Пусть прямая MK пересекает прямую EF в точке O, тогда:
Заметим, что (чтобы косинус в ответе получился положительным, а полученный угол —острым). Применим теорему косинусов в треугольнике
Откуда
Ответ:
Идея окончания решения Игоря Калинкина.
Можно найти площадь сечения, перемножив стороны прямоугольника и приравнять полученное произведение к формуле площади параллелограмма через диагонали ( где α — угол между диагоналями). Выразив отсюда синус угла между диагоналями и найдя арксинус, получим
Идея окончания решения Марины Максимовской.
Рассмотрим равнобедренный треугольник МОЕ, проведём высоту к МЕ. В получившемся прямоугольном треугольнике выразим тангенс половины нужного угла. Половина нужного угла получится тогда весь угол —
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Аналоги к заданию № 509423: 509444 511590 Все
Dabc правильная треугольная пирамида докажите что скрещивающиеся ребра dc и ab перпендикулярны
В пирамиде DABC прямые, содержащие ребра DC и AB, перпендикулярны.
а) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку О — середину ребра DB, и параллельно DC и AB. Докажите, что получившееся сечение является прямоугольником.
б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если DC = 24, AB =10.
а) Построим прямые EK, EM, KF, такие что: EK ∥ DC; EM ∥ AB; KF ∥ AB; EKFM — искомое сечение, причём EKFM — параллелограмм. Покажем, что EKFM прямоугольник:
Поскольку EK ∥ DC; EM ∥ AB; получаем, что EKMF — прямоугольник.
б) EK ∥ DC и E — середина DB, тогда EK — средняя линия треугольника DBC, значит, аналогично Так как EKMF прямоугольник, получаем:
Пусть прямая MK пересекает прямую EF в точке О, тогда:
Заметим, что 
Применим теорему косинусов в треугольнике
Откуда 
Ответ:
Dabc правильная треугольная пирамида докажите что скрещивающиеся ребра dc и ab перпендикулярны
Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны 2.
а) Докажите, что противоположные боковые ребра этой пирамиды взаимно перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP, если точка M — середина бокового ребра пирамиды AP.
а) Рассмотрим, например, пару ребер PA и PC. Основание правильной пирамиды 
− квадрат, поэтому 
Заметим, что
поэтому 
б) Пусть отрезок PH — высота пирамиды PABCD, отрезок MN — средняя линия треугольника APH (см. рисунок).
Поскольку PABCD — правильная пирамида, точка H — центр квадрата ABCD, значит, 
и 
откуда 
Но, 
следовательно, 
Таким образом, прямая BN — проекция прямой BM на плоскость BDP, значит, угол между прямой BM и плоскостью BDP равен углу между прямой BM и прямой BN, то есть острому углу MBN прямоугольного треугольника 
Медиана равностороннего треугольника 
и, следовательно, 
Ответ: 
а) Построим прямые 
такие что: 
тогда 
искомое сечение параллелограмм 
Покажем, что 
прямоугольник:
и 
— середина 
тогда 
— средняя линия треугольника 
значит 
аналогично 
Так как 
прямоугольник, получаем:
пересекает прямую 
в точке 
тогда: 
Применим теорему косинусов в треугольнике 
а) Пусть точка H — середина AC. Тогда
а) В плоскости AA1D1 проведём через точку E прямую, параллельную TF. Пусть она пересекает ребро A1D1 или его продолжение в точке G. Плоскость EFT проходит через точку G. Треугольник EGA1 подобен равнобедренному треугольнику FTB1, в котором FB1 = B1T = 1. Отсюда EA1 = A1G = 2, значит, точка Gсовпадает с точкой D1.
Из теоремы косинусов для треугольника B1KL находим
