Числовой ряд что это
Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения
Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.
Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.
Базовые тезисы
a k является общим или k –ым членом ряда.
Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.
Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.
Мы доказали, что числовой ряд сходится.
Мы доказали, что числовой ряд расходится.
Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакопеременный, так как в нем множество чисел, отрицательных и положительных.
Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.
Приведем примеры для каждого случая соответственно:
Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.
Знакочередующийся ряд ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно сходится в том случае, когда ∑ k = 1 ∞ b k также считается сходящимся.
Подробно разберем несколько характерных вариантов
Знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается условно сходящимся в том случае, если ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, а ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается сходящимся.
Особенности сходящихся рядов
Проанализируем свойства для определенных случаев
Разложим исходный вариант:
Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся
Проверим исходное выражение на выполнение условия lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0
Как определить сходимость знакоположительного ряда.
Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.
Как сравнивать ряды
Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.
Первый признак
Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.
Второй признак
Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 означается, что первоначальный вариант также сходится.
Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.
Третий признак
Рассмотрим третий признак сравнения.
Признак Даламбера
Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.
Определить, является ряд сходящимся или расходящимся ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k по признаку Даламбера.
Необходимо проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости. Вычислим предел, воспользовавшись правилом Лопиталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = » open=» ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 ‘ 2 k ‘ = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ · ln 2 = 0
Мы можем увидеть, что условие выполняется. Воспользуемся признаком Даламбера: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 ( k + 1 ) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2 1
Ряд является сходящимся.
Следовательно, ряд является расходящимся.
Радикальный признак Коши
Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.
Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.
Определить, является ли знакоположительный ряд ∑ k = 1 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) k на сходящимся.
Интегральный признак Коши
, то в случае, если несобственный интеграл ∫ a + ∞ f ( x ) d x является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.
При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.
Рассмотреть пример ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k на сходимость.
Согласно полученным результатам, исходный пример расходится, так как несобственный интеграл является расходящимся.
Признак Раабе
Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.
Исследование на абсолютную сходимость
Расходимость знакопеременных рядов
Если ряд ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k либо расходящийся, либо условно сходящийся.
Признаки для условной сходимости
Признак Лейбница
Ряд условно сходится.
Признак Абеля-Дирихле
∑ k = 1 + ∞ u k · v k сходится в том случае, если < u k >не возрастает, а последовательность ∑ k = 1 + ∞ v k ограничена.