Bndm параллелограмм am cn докажите что bc параллельно ad

Bndm параллелограмм am cn докажите что bc параллельно ad

На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N, причём M — середина AD, а BN : NC = 1 : 3.

а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.

б) Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC, если площадь параллелограмма ABCD равна 48.

а) Обозначим точки пересечения прямой BM c прямыми AN и AC буквами P и R соответственно.

Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда AO и BM — медианы треугольника ABD, значит,

Из подобия треугольников BPN и MPA находим, что

Значит, Из доказанного следует, что BP=PR=RM.

б) Пусть площадь параллелограмма равна S. Из подобия треугольников MRA и BRC с коэффициентом следует, что высота треугольника BRC, проведённая к стороне BC, составляет высоты параллелограмма, проведённой к той же стороне. Следовательно, площадь треугольника BRC равна

Аналогично найдём площадь треугольника BNP. Его высота, проведённая к BN, составляет высоты параллелограмма, проведённой к стороне BC сама сторона BN в четыре раза меньше стороны параллелограмма BC. Поэтому

Следовательно, площадь четырёхугольника PRCN равна