Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 10. Известно, что AB = BC = CD = 6.
а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.
а) Острые углы BCA и CAD равны, поскольку опираются на дуги стянутые равными хордами AB и CD. Значит, прямые BC и AD параллельны.
б) Обозначим угол BCA через α. По теореме синусов для треугольника ABC имеем
Треугольник ABC равнобедренный, поэтому Значит, Четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому Значит,
По теореме синусов для треугольников ACD и ACB получаем: откуда, используя формулу синуса тройного угла, получаем:
Приведем другое решение пункта б)
Заметим, что центр описанной окружности лежит вне трапеции. Проведем две высоту трапеции BH — из вершины B и параллельную ей прямую EF проходящую через центр окружности. Обозначим AE = x, OE = y. Тогда из треугольника AOE по теореме Пифагора имеем а из треугольника BOF: Тогда высота трапеции а AH = x – 3. Напишем теорему Пифагора для треугольника ABH:
Подставим полученный результат в первое уравнение и решим его.
Очевидно, что нам подходит только положительный корень, откуда AD = 2x = 15,84.
Приведем решение пункта б), присланное читателем сайта.
Так как AB = BC = CD, эти хорды стягивают равные дуги. Значит, По теореме синусов для треугольника ABC имеем: откуда
Опустим высоту BH на основание AD. Тогда
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
а) Докажите, что окружность, построенная на отрезке AB как на диаметре, проходит через точку O.
б) Найдите отношение площади четырёхугольника, вершины которого — точки касания окружности со сторонами трапеции, к площади самой трапеции ABCD, если известно, что AB = CD, а основания трапеции относятся как 3 : 4.
а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO и BO — биссектрисы углов BAD и ABC соответственно. Следовательно,
Отрезок AB виден из точки O под углом 90°. Следовательно, точка O принадлежит окружности, построенной на отрезке AB как на диаметре.
б) Пусть K, L, M и N — точки касания окружности со сторонами AB, BC, CD и AD данной трапеции соответственно. Тогда L — середина основания BC, потому что углы ABC и BCD равны, углы OBL и OCL равны и прямоугольные треугольники OBL и OCL равны по общему катету OL и острому углу. Аналогично N — середина основания AD. Обозначим CM = CL = BL = BK = x; DM = DN = AN = AK = y (x
Пусть площадь трапеции ABCD равна S, а площадь четырёхугольника KLMN равна S1. Тогда
а так как диагонали KM и LN четырёхугольника KLMN перпендикулярны, получаем, что
Следовательно,
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Значит, 
Четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому 
Значит, 
откуда, используя формулу синуса тройного угла, получаем:
а из треугольника BOF: 
Тогда высота трапеции 
а AH = x – 3. Напишем теорему Пифагора для треугольника ABH:
По теореме синусов для треугольника ABC имеем: 
откуда
