7 что является важнейшей характеристикой математической модели

Общая характеристика математических моделей

Введем понятие математической модели технического объекта. Математическая модель представляет собой идеализированную схему технического объекта (или его составных частей), построенную путем отображения в ней наиболее существенных свойств и «элементарных» процессов с помощью комплекса математических зависимостей и логических соотношений.

Формирование математической модели осуществляется на основе выделенного комплекса параметров, а также различных уровней абстрагирования и упрощения реального технического объекта. Тем не менее, такая идеализированная модель позволяет получать довольно точные результаты. Это объясняется тем, что для определения основных характеристик исследуемого объекта при моделировании достаточно учесть относительно небольшое число определяющих параметров. Сложность, однако, состоит в том, что они должны быть правильно выбраны и между ними должны быть установлены объективные связи; необходимо также решать вопрос о полноте модели. При этом важно не столько знание математики, сколько глубокое понимание сущности поведения объекта-оригинала, где тесно переплетаются и знание теории, и опыт, и интуиция.

К настоящему времени установится общий порядок построения математических моделей, при котором сначала исходят из простых условий, а затем шаг за шагом по мере увеличения глубины анализа и накопления необходимой информации поднимаются по ступеням иерархической градации, переходя к постепенному усложнению моделей [18].

Качество получаемых моделей нельзя оценить ни по структуре, ни по форме. Единственным критерием такой оценки может служить лишь достоверность полученных на модели прогнозов поведения реального объекта.

Применяемый математический аппарат должен «вписываться» в моделируемый объект и достоверно отражать специфику его структурных и динамических особенностей. По своей форме математическое описание модели обычно состоит из зависимостей, отражающих общие физические законы: уравнений, описывающих «элементарные» процессы (например, движение материальной точки по поверхности рабочего органа машины); различных эмпирических и полуэмпирических соотношений, полученных в результате статистической обработки экспериментальных данных.

Примерный состав математического описания модели представлен на рис. 1.4.

При разработке алгоритма должны быть

· установлены размерности всех используемых величин,

· определены допустимые границы, в которых будут изменяться параметры,

· и задана предельная ошибка вычислений.

Основными требованиями к математическим моделям являются универсальность, математическая строгость, точность и экономичность.

Универсальность математической модели определяется возможностью ее использования для различных технических объектов. В настоящее время получили широкое распространение так называемые модульные (блочные) модели, которые описываются известными физическими закономерностями. При разработке математической модели какого-либо конкретного технического объекта модульные модели соединяются между собой по принципу подчинения. Образующаяся многоуровневая цепочка моделей обладает рядом преимуществ, т.к. на каждом уровне решаются свои задачи, а на вышестоящие и нижестоящие уровни по уравнениям связи (каналам связи) передается минимальный объем информации.

Использование модульных моделей существенно сокращает затраты труда при моделировании технических объектов, позволяет применять унифицированные формы ввода в ЭВМ данных об их свойствах и систематизированные процедуры обработки полученных результатов.

Математическая строгость связана с качеством идеализации объекта оригинала. Под идеализацией понимается выделение основных и отбрасывание второстепенных (в условиях поставленной задачи) свойств и характеристик указанного объекта.

На практике идеализация осуществляется различными путями:

— переходом от распределенных параметров к сосредоточенным:

— сокращением числа независимых переменных;

— снижением размерности решаемой задачи (от трехмерной к двухмерной и одномерной):

— заменой переменных константами:

— изменением принимаемых ограничений;

— усреднением свойств по объему и направлению (идеальное перемешивание; гипотезы плоских сечений и т.п.).

В любом случае математическая строгость соответствует принятой степени идеализации.

Точность математической модели оценивается ее способностью отображать значения искомых параметров моделируемого объекта с ошибкой, не более заданной.

Экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов ЭВМ (машинного времени и памяти) на ее реализацию, а также количеством параметров, используемых в модели.

Требования по универсальности, математической строгости и экономичности моделей противоречивы. Необходимо иметь удачное компромиссное решение. По этой причине в каждом случае следует располагать не одной, а несколькими математическими моделями.

Математические модели отличаются одна от другой по назначению, структуре, степени детализации свойств моделируемого объекта, по способу получения. Поэтому их можно классифицировать по целому ряду признаков.

Так, по назначению выделяют модели функционирования и оптимизационные модели. В первом случае модели предназначены для выявления характерных зависимостей между параметрами технического объекта в процессе его функционирования. Во втором случае модели служат для определения наилучших, оптимальных значений регулируемых параметров.

Разделение моделей по признаку предсказуемости на вероятностные и детерминированные является наиболее фундаментальным элементом классификации.

Если в модели внешние воздействия и внутренние возмущения приниматься случайными, т.е. являются непредсказуемыми, то модель называют вероятностной. Ее решение формируется в виде распределения вероятностей.

В зависимости от того, входит время в качестве независимой переменной в математическое описание модели или нет. все модели принято разделять на динамические и статические.

В динамических моделях отображается инерционность исследуемых объектов. При этом значения выходных параметров в определенный момент времени зависят не только от значений остальных параметров, но и от предшествующих воздействий, т.е. от предыстории. Обычно интервал времени, относящийся к предыстории, является небольшим. Он называется «памятью» объекта и характеризует его запаздывание, т.е. последействие.

Если в модели последействие и текущее время не учитываются, то она называется статической.

Весьма существенно деление математических моделей на линейные и нелинейные. Модель называется линейной, если для нее выполняется принцип суперпозиции (наложения). При этом каждый выходной параметр связан линейной зависимостью с другими параметрами.

Модель является нелинейной, если реакция на два различных входных возмущения не эквивалентна сумме реакций на каждое из этих возмущений в отдельности, т.е. когда нарушается принцип суперпозиции.

Линейные модели значительно проще нелинейных. Поэтому их широко используют при моделировании. И хотя большинство процессов в технических объектах являются нелинейными, при моделировании их стремятся линеаризовать даже за счет некоторого снижения точности.

По способу получения математические модели подразделяются на 4 большие группы:

Аналитическая модель предполагает запись в виде результата аналитического решения исходных уравнений.

При разработке эмпирической математической модели предполагается использование экспериментальных данных, полученных при испытаниях объектов. Результаты таких испытаний всегда представляют собой наборы величин, характеризующих работу объекта или системы при различных сочетаниях управляющих параметров. Переход к эмпирическим моделям предполагает заведомый отказ от аналитических методов исследования. Поэтому эмпирические модели более разнообразны и включают в себя различные по форме математические зависимости.

Стохастическим модели создаются с помощью понятий и методов теории случайных процессов. Модели временных рядов, необходимые для получения оптимального прогнозирования и регулирования, являются стохастическими.

Существует класс объектов, для которых по различным причинам не разработаны аналитические модели, либо не разработаны методы решения полученной модели. В этом случае аналитическая модель заменяется имитационной моделью.

К имитационному моделированию прибегают, когда: дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте; невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные; необходимо сымитировать поведение системы во времени. Имитационное моделирование позволяет имитировать поведение системы во времени. При этом временем в модели можно управлять: замедлять в случае с быстропротекающими процессами и ускорять для моделирования систем с медленной изменчивостью. Можно имитировать поведение тех объектов, реальные эксперименты с которыми дороги, невозможны или опасны.

Дата добавления: 2014-11-13 ; просмотров: 18 ; Нарушение авторских прав

Источник

Характеристики математической модели

Математическая модель всегда отражает только часть свойств реального объекта, определяемую целями моделирования. Например, специалиста, автоматизирующего технологический процесс, может интересовать кинематическая модель манипулятора, которая позволяет рассчитать объем зоны обслуживания и траектории перемещения рабочего органа манипулятора. Человеку, проектирующему систему управления робота, кроме кинематической, нужна динамическая модель, в которой учитывались бы приведенные к осям приводов моменты инерции звеньев манипулятора, жесткость звеньев, трение в кинематических парах и т. п. Совершенно иные модели использует конструктор, призванный обеспечить необходимые прочность, жесткость и дизайн проектируемого манипулятора.

Естественно, что при построении модели стремятся, как можно более точно отразить свойства объекта, чтобы модель, верно, отражала свойства моделируемого объекта в смысле, определенном целью моделирования. С другой стороны, чем проще математическая модель, тем легче ее исследовать и использовать при решении задач синтеза. Искусство моделирования состоит в умении выбрать факторы, существенные с точки зрения цели моделирования, и пренебречь эффектами, которые, усложняя математическую модель, не оказывают заметного влияния на поведение системы.

Адекватность

Проблема соответствия модели реальному объекту очень важна. Принято говорить, что модель адекватна оригиналу, если она, верно, отражает интересующие нас свойства оригинала и может быть использована для предсказания его поведения. При этом адекватность модели зависит от целей моделирования и принятых критериев. Например, модель, адекватная на этапе поискового проектирования, при детализации проекта теряет это свойство и становится слишком «грубой». Учитывая изначальную неполноту модели, можно утверждать, что идеально адекватная модель в принципе невозможна.

В рамках каждой научной дисциплины разрабатывается совокупность приемов и правил, следование которым позволяет создавать отвечающее исходным гипотезам описание и получать предварительную оценку его адекватности рассматриваемому явлению. Окончательный анализ данной оценки осуществляется на этапе проверки модели, на котором устанавливается правомерность исходных посылок в соответствии с целью исследования реального явления и определяется степень соответствия ему полученной модели.

Приближенность модели к действительному объекту можно рас-

сматривать в следующих аспектах:

● с точки зрения корректности связи «вход-выход»;

● с точки зрения корректности декомпозиции модельного описания применительно к целям исследования и использования моделей.

Степень соответствия моделей в первом случае принято называть собственно адекватностью, во втором – аутентичностью. В последнем случае требуется, чтобы все подмодели и их элементы были адекватны соответствующим прототипам реального объекта. Проблема аутентичности значительно сложнее адекватности и может рассматриваться лишь при получении математической модели классическим способом, т. е. «изнутри». Первая проблема допускает строгий анализ, однако также является актуальной, сложной и далекой от полного разрешения.

Можно выделить два способа оценки адекватности, один из которых используется, если есть возможность сравнить модель и объект, другой – если такой возможности нет.

Первый способ представляет собой разовую процедуру, основанную на сравнении данных, наблюдаемых на реальном объекте, с результатами вычислительного эксперимента, проведенного с моделью. Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью, где под точностью модели понимается количественный показатель, характеризующий степень различия модели и изучаемого явления. Таким образом, в первом способе мера адекватности является количественной. Ею может быть значение некой функции несогласованности между моделью и измерениями.

Мера адекватности принципиально является векторной и взвешенной. Векторность связана с тем, что реальные объекты характеризуются не одним, а несколькими выходными показателями. Причем один и тот же выходной параметр модели может оказаться важным для одних применений модели и второстепенным для других.

Возможна также вариация данного подхода, когда объект заменяется эталонной моделью, заведомо более точной, чем исследуемая.

Использование количественной характеристики позволяет сравнивать различные модели по степени их адекватности.

Второй способ представляет собой перманентную процедуру, основанную на использовании верификационного подхода, нацеленного на формирование определенного уровня доверия к модели. Такая процедура всегда используется, если нет возможности проверить модель экспериментально, например, объект находится в стадии проектирования либо эксперименты с объектом невозможны.

Процесс оценки достоверности имеет две стороны:

● приобретение уверенности в том, что модель ведет себя как реальная система;

● установление того, что выводы, полученные на ее основе, справедливы и корректны.

По сути, он сводится к обычному компромиссу между стоимостью проверки и последствиями ошибочных решений.

Для проверки модели могут использоваться разные приемы:

● проверка физического смысла (соблюдение физических законов);

● проверка размерности и знаков;

● проверка тренда, т. е. тенденции изменения выходных переменных в зависимости от внутренних и внешних переменных, и т. п.

Например, при моделировании вращательного движения твердого тела необходимо убедиться в том, что выполняется закон сохранения кинетического момента. Также необходимо быть уверенным, что модель не будет давать абсурдных результатов, если параметры выходят на пределы.

Экономичность

Экономичность математических моделей определяется двумя основными факторами:

● затратами машинного времени на прогон модели;

● затратами оперативной памяти, необходимой для размещения модели. Особенно это актуально для систем реального времени, например, при использовании модели в контуре управления космического аппарата.

Универсальность

Универсальность моделей определяет область их возможных применений. Можно строить отдельные модели для различных экспериментов (например, детерминированные и стохастические) или для разных режимов работы. Здесь нужен взвешенный подход. Обычно универсальность достигается тем, что в модель включается большое число внутренних параметров, что отрицательно влияет на экономичность.

Устойчивость

При оценке адекватности модели может быть использовано лишь ограниченное подмножество всех возможных значений входных параметров (рабочей нагрузки и внешней среды). Устойчивость модели – это ее способность сохранять адекватность при исследовании системы на всем возможном диапазоне рабочей нагрузки, а также при внесении изменений в конфигурацию системы.

Универсальной процедуры проверки устойчивости модели не существует. Разработчик вынужден прибегать к методам «для данного случая», к частичным тестам и здравому смыслу. Часто проверка состоит в сравнении результатов моделирования и результатов измерения на системе после внесения в нее изменений. Если результаты моделирования приемлемы, уверенность в устойчивости модели возрастает.

В общем случае можно утверждать, что чем ближе структура моде-

ли структуре системы и чем выше степень детализации, тем устойчивее модель.

Чувствительность

Очевидно, что устойчивость является положительным свойством модели. Однако если изменение входных воздействий или параметров модели (в некотором заданном диапазоне) не отражается на значениях выходных переменных, то польза от такой модели невелика. В связи с этим возникает задача оценивания чувствительности модели к изменениям параметров рабочей нагрузки и внутренних параметров самой системы.

Обычно такую оценку проводят по каждому параметру отдельно. Основана она на том, что диапазон возможных изменений параметра известен. Данные, полученные при оценке чувствительности модели, могут быть использованы, в частности, при планировании экспериментов: большее внимание должно уделяться тем параметрам, по которым модель является более чувствительной.

Контрольные вопросы

1. Какие свойства характеризуют математические модели?

2. Как решается проблема соответствия модели оригиналу?

3. Какими факторами определяется экономичность модели?

4. Что такое устойчивость модели?

5. Как определяется чувствительность модели?

Источник

Понятие «математическая модель»

Введение

Вторая половина XX века связана с появлением и широким распространением новой методологии исследования сложных объектов и систем. В ее основе лежит метод математического моделирования и реализованные на его основе вычислительные эксперименты. Математические модели использовались и раньше. Они позволяли уже тогда анализировать недоступные или несуществующие объекты и процессы. Например:

1) Планета Уран была открыта путем анализа возмущений орбит трех планет (Леверье).

2) К.Э. Циолковский показал, что для преодоления земного притяжения требуется первая космическая скорость, а не скорость света.

Однако считалось, что методы математического моделирования не пригодны для исследования сложных технических, экономических, биологических и социальных систем. В области техники отсутствие объективных математических методов привело, с одной стороны, к созданию многочисленных частных, так называемых инженерных методик расчета, носивших рецептурный характер, а с другой – к полному безраздельному господству эмпирики (натурных экспериментов).

Недостаточно полная проработка вариантов приводила к субъективным решениям.

Положение начало меняться во второй половине XX в. при развитии средств вычислительной техники, в частности современных ЭВМ, которое дало в руки исследователей новое эффективное средство моделирования сложных систем. В настоящее время не существует объектов, при изучении которых не применялись бы методы математического моделирования. Разработаны и активно используются математические модели технических устройств, модели разнообразных технологических процессов, экономические модели предприятий, регионов и целых государств, экологические модели, модели геологических и геофизических процессов, модели социальных систем, биологические и медицинские модели.

Глава 1. Цели и задачи математического моделирования
процессов и систем

Классификация математических моделей

Существует несколько схем классификации математических моделей. Все они достаточно условны. Одна из таких схем приведена на рис. 1.3.

Все математические модели по использованному формальному языку можно разбить на аналитические и имитационные.

Аналитические – модели, в которых используется стандартный математический язык. Имитационные – модели, в которых использован специальный язык моделирования или универсальный язык программирования.

Аналитические модели могут быть записаны в виде формул или уравнений. Если какой-либо процесс не может быть описан в виде аналитической модели, его описывают с помощью специального алгоритма или программы. Такая модель является имитационной.

Аналитические модели в свою очередь разбиваются на теоретические и эмпирические модели. Теоретические модели отражают реальные структуры и процессы в исследуемых объектах, то есть, опираются на теорию их работы. Эмпирические модели строятся на основе изучения реакций объекта на изменение условий окружающей среды. При этом теория работы объекта не рассматривается, сам объект представляет собой так называемый «черный ящик», а модель – некоторую интерполяционную зависимость. Эмпирические модели могут быть построены на основе экспериментальных данных. Эти данные получают непосредственно на исследуемых объектах или с помощью их физических моделей.

По форме описания аналитические модели подразделяются на линейные и нелинейные.

Если все входящие в модель величины не зависят от времени, то имеем статическую модель объекта или процесса, в противном случае получаем динамическую модель.

В детерминированных моделях все взаимосвязи, переменные и константы заданы точно, что приводит к однозначному определению результирующей функции. Если часть или все параметры, входящие в модель по своей природе являются случайными величинами или случайными функциями, то модель относят к классу стохастических моделей.
В стохастических моделях задаются законы распределения случайных величин, что приводит к вероятностной оценке результирующей функции.

Если аналитическое исследование может быть доведено до конца, модели называются аналитически разрешимыми. В противном случае говорят о численно разрешимых аналитических моделях.

Контрольные вопросы к лекции 1

1. Что позволяет осуществить математическое моделирование до создания реальной системы, объекта?

2. Что позволяют увидеть вычислительные эксперименты?

3. Сформулируйте основную задачу математического моделирования.

4. Дайте определение математической модели.

5. Какой подход решения научных задач является альтернативным математическому моделированию?

6. Перечислите основные недостатки экспериментального подхода.

7. Что является важнейшей характеристикой математической модели?

8. На какие два вида делятся математические модели?

9. Перечислите виды аналитических математических моделей.

10. Дайте краткую характеристику видов моделей.

Нелинейные детерминированные модели

Нелинейные детерминированные модели обладают бóльшей точностью и гибкостью. Они могут быть заданы в виде нелинейной функции одной или нескольких переменных или в виде дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных). Наиболее распространенными среди нелинейных моделей при описании ДУ и ДЛА являются:

– обыкновенные дифференциальные уравнения;

– дифференциальные уравнения в частных производных др.

Нелинейные модели могут быть записаны в виде функционала, зависящего от управляющих переменных х и некоторых функций f(x) всех или части этих переменных:
W = W(x,f(x)). При этом функции f(x) могут представлять собой функционалы, зависящие от промежуточных функций f*(x) и т.д. На класс функций f(x), f*(x) не накладывается никаких ограничений, однако предполагается возможность однозначного перехода от вектора управляющих параметров х к общей характеристике модели W.

Область определения модели может быть ограничена с помощью равенств или неравенств:

По существу под определение нелинейной модели подпадает любое математическое описание ДУ и ДЛА, не укладывающееся в рамки более простых моделей.

Полиномиальные модели

Полиномиальные модели основаны на идее приближенного представления модели конечным числом членов ряда Тейлора:

.

Наиболее простой из моделей этого класса является квадратичная модель:

Квадратичные модели широко используются для представления экспериментальных данных при идентификации ДЛА и их элементов.

Квадратичные модели используются для аппроксимации отдельных участков поверхности отклика, когда линейное приближение оказывается недостаточным, например, в окрестности экстремума, и лежит в основе нелинейных методов оптимизации. Если квадратичная модель также оказывается недостаточно точной, то используются полиномиальные модели более высоких порядков.

Исследование полиномиальных моделей частично можно осуществить аналитическими методами. Например, аналитически можно определить степень влияния отдельных переменных на характеристики модели.

Позиномные модели

Позиномные модели основаны на представлении модели в виде суммы произведений степенных функций:

, (2.14)

где x_i – управляющие переменные, a_ij – произвольные положительные числа, c_j ³ 0 – обеспечивает выпуклость модели.

Величины a_ij, с_j рассчитываются на основе статистических данных, отражающих опыт производства соответствующих узлов и систем.

Позиномные модели можно использовать для описания стоимости сложных систем.

К позиномным моделям сводится задача выбора геометрических характеристик ряда технических устройств, в том числе элементов ДЛА, например, электромагнитов, силовых ферм и т.д.

Исследование позиномных моделей сложнее, чем моделей полиномиального типа, и осуществляется в основном численными методами. Однако, при m = 1 и x₁ > 0, x₂ > 0,…, x_k > 0 в формуле (2.4) существует способ приведения позинома к линейному виду.

В этом частном случае модель (2.4) будет выглядеть в следующем виде:

.

Прологарифмируем обе части этого равенства, получим

. (2.15)

Выражение (2.5) примет линейный вид

Для поиска оптимальных решений на основе позиномных моделей разработан специальный аппарат – так называемое геометрическое программирование.

Контрольные вопросы к лекции 3

1. С какими значениями величин оперируют детерминированные модели?

2. Как выглядит линейная детерминированная модель в общем виде?

3. Что представляет собой поверхность отклика для линейной модели?

4. Приведите модель стоимости перевозок.

5. Где используются линейные детерминированные модели?

6. Приведите простейшую математическую модель изменения силы тяги ГТД.

7. К какому типу она относится?

8. Где она может быть использована?

9. Приведите модель установившегося процесса горизонтального полета самолета.

10. Что и как можно определить с ее помощью?

11. Какие виды нелинейных математических моделей Вы знаете?

12. Приведите общий вид квадратичного полинома.

13. Приведите формулу позинома.

14. Как привести позином к линейному виду (при каком условии)?

2.4.3. Математическая модель кратчайшего пути

В качестве примера применения нелинейных статических моделей рассмотрим задачу описания двумерного движения точки по ограниченной области (рис. 2.8). Такая задача может возникнуть при определении координат опорных точек движения инструмента на станке с ЧПУ.

Кратчайшим расстоянием между двумя точками на плоскости является соединяющий их отрезок прямой.

Пусть расстояние между точками А и В равно р и центр окружности, ограничивающий область D, лежит посередине между точками А и В. Тогда

Рассмотрим путь АСВ, где точка С имеет координаты (0, у_С), а у_С – достаточно велико, чтобы отрезки АС и СВ не пересекались с областью D. Тогда по теореме Пифагора

.

Отсюда видно, что при убывании у_С путь сокращается. Будем уменьшать у_С до тех пор, пока АС не коснется окружности в точке Е₁ (С ® С₁). Этот путь является наилучшим среди путей, составленных из двух отрезков прямых линий.

Но tga > a для всех a Î .

На этой стадии решения задачи мы выяснили, что кратчайший путь состоит их двух отрезков прямых линий и дуги окружности.

Длину этого пути обозначим через S. Получим математическую модель пути:

. (2.16)

, (2.16′)

где a – угол между прямой Е₁0 и осью 0Y.

Ограничение (2.16′) вводится потому, что при прямая АЕ₁ пересечет область D, а этого не должно быть.

Задача заключается в определении угла b₀, при котором путь S будет минимальным. Необходимым условием минимума функции S(b) является равенство нулю производной:

. (2.17)

Рассмотрим частный случай:

Тогда .

Подставив значения p и R в математическую модель (2.6), получим

.

Произведя некоторые преобразования, получим

.

Возьмем производную по b от этого выражения и приравняем ее к нулю.

.

Получили уравнение, решив которое относительно b, найдем значение угла b₀, при котором S минимально. Опустив промежуточные преобразования, получим cosb = 1/2.
То есть b = p/3.

Чтобы убедиться, что найденное значение является точкой минимума, необходимо исследовать вторую производную от (2.16). Если она больше нуля при b = b₀, то S(b) действительно минимальна в этой точке.

Вторая производная от S(b) имеет вид

.

Подставив в нее найденное значение b₀ = p/3, получим

.

Равенство нулю второй производной требует дополнительного исследования критической точки. Необходимо найти первую, не обращающуюся в нуль, производную. Если она нечетного порядка, функция не имеет в исследуемой точке ни максимума, ни минимума. Если она четного порядка и больше нуля, исследуемая точка является минимумом. Проверим третью производную от S(b) по b:

.

Отсюда имеем, что при b = p/3 функция S(b) не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, из графика функции S(b) (рис. 2.9) видно, что на отрезке (2.16′) функция (2.16) монотонно убывает. В точке b₀ = p/3, совпадающей с b_огр, кривая имеет точку перегиба. Наименьшее в области определения значение находится на границе этой области. следовательно, путь AE₁GF₁B действительно кратчайший и его длина равна S(p/3) = 4,511.

Покажем, что математическая модель (2.6) для любых p и R монотонно убывает на отрезке и, следовательно, имеет наименьшее значение при . Для этого необходимо показать, что вторая производная от S(b) на интересующем нас отрезке не превышает нуля.

Вторая производная от функции (2.6) имеет вид

.

Покажем, что она не превышает нуля:

.

Разделив обе части неравенства на 2R и умножив на корень квадратный (это можно сделать, не нарушив неравенства, так как R > 0, а корень квадратный представляет собой длину отрезка, т. е. тоже больше нуля), получим

.

Возведя обе части в квадрат (на рассматриваемом отрезке sin(b) > 0) и произведя некоторые преобразования, получим

.

В левой части неравенства cos 2 (b) можно заменить его минимальным значением, т.е. нулем, а в правой части – максимальным значением, т.е. единицей. Тогда получим

Но p действительно больше R (см. рис. 2.5).

Таким образом, аналитическую модель пути (формула (2.6)) мы использовали для доказательства того, что при b = p/2 – a путь является кратчайшим. Зная это, можно определить координаты опорных точек движения инструмента на станке с ЧПУ при любых значениях величин p и R:

где a = .

Контрольные вопросы к лекции 4

1. К какому типу можно отнести модель кратчайшего расстояния между двумя точками?

2. Является ли найденное значение угла b точкой минимума пути?

3. Является ли путь S при найденном значении угла b кратчайшим?

2.5. Математическая модель в виде
обыкновенных дифференциальных уравнений

Математическая модель в виде одного или нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) широко используются при изучении переходных процессов в системах автоматического регулирования (САР), при описании баллистики летательных аппаратов, а также при описании процессов движения (потоки, частицы, механические элементы).

В простейшем случае модель может иметь вид линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

или системы дифференциальных уравнений 1-го порядка

Часто встречаются смешанные задачи, а также нелинейные ОДУ.

Модель, заданная в виде дифференциальных уравнений, должна включать в себя необходимый набор начальных условий:

Исследование моделей, заданных в виде обыкновенных дифференциальных уравнений, осуществляется аналитическими и численными методами. Наиболее полными являются аналитические решения, обеспечивающие всесторонний анализ полученных результатов. Но такие решения получены лишь для ограниченного числа дифференциальных уравнений. Численные методы решения позволяют найти лишь конкретные значения изучаемой функции при заданной комбинации исходных данных. Для анализа модели можно использовать некоторую совокупность решений. Однако, очевидно, что результаты анализа в этом случае могут зависеть от выбора этой совокупности.

В качестве простейшего примера математической модели механической системы может быть рассмотрена модель движения груза массой m, закрепленного на вертикальной стенке с помощью пружины жесткостью С и совершающего колебательное движение вдоль оси х в среде с вязкостью n (Рис. 2.10).

Возмущающая сила, вызывающая колебания, зависит от времени f(t). Наряду с возмущающей силой f(t) на груз действует сила инерции , сила вязкого трения , усилие пружины . Все эти силы тормозят движение груза.

Согласно принципу Даламбера сумма всех сил, действующих на груз должна равняться нулю:

. (2.18)

Начальные условия характеризуют начальное положение и начальную скорость груза:

x(0) = x₀; . (2.19)

Уравнение (2.18) совместно с начальными условиями (2.19) представляет собой математическую модель рассматриваемой механической системы.

Стохастические модели

Точные величины и зависимости, используемые в детерминированных моделях, представляют собой лишь некоторые средние значения (математические ожидания) реальных случайных величин (зависимостей). Так, физические константы, характеризующие материалы и рабочие тела (предел прочности материала s, теплопроводность l, плотность r и т.д.) меняются в зависимости от партии материала и условий окружающей среды. Всегда имеется определенный разброс размеров деталей l, расходов топлива в системах подачи. Все это приводит к тому, что и результирующие функции, характеризующие процесс, также носят случайный характер. Результаты, полученные с помощью детерминированной модели, представляют собой математические ожидания этих характеристик. При этом конкретные данные для конкретной системы могут существенно отличаться от этих математических ожиданий. Например, ресурс конкретного двигателя может существенно отличаться от среднего ресурса двигателей данного типа. Для учета таких отличий вводятся всевозможные «запасы прочности», призванные гарантировать работоспособность реальных объектов при неблагоприятном стечении обстоятельств.

Значительно более полные и объективные результаты можно получить при переходе от детерминированных к стохастическим моделям, то есть при переходе от точно заданных величин к соответствующим случайным величинам.

Однократное исследование стохастической модели приведет к некоторой случайной величине функции отклика x_W, представляющей собой, вообще говоря, ограниченную ценность. Для получения значимых результатов необходимо провести многократное исследование модели и получить распределение результирующей характеристики в интересующем исследователя диапазоне. Поверхность отклика в этом случае представляет собой некий размытый слой переменной плотности.

Такой метод исследования стохастической модели получил название метода статистических испытаний или метода Монте-Карло.

Трудоемкость исследования стохастических моделей существенно выше, чем моделей детерминированных:

1. Значительно возрастает объем исходной информации: замена констант случайными величинами, введение законов распределения этих величин усложняют модель.

2. Для получения распределения результирующей функции необходимо многократное исследование модели.

С другой стороны, полученное при статистическом моделировании распределение характеристик системы дает в руки исследователя чрезвычайно ценную информацию: Такое распределение позволяет оценить не только среднее значение изучаемой величины, но и разброс этих значений, вероятности появления тех или иных значений при конкретном испытании (например, вероятность выхода из строя ДЛА через тот или иной промежуток времени) и их зависимость от различных факторов.

Очень часто используют нормальный или гауссовский закон распределения, для которого плотность вероятности f(x) и функция распределения R(х) задаются следующими соотношениями:

Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (х, x+dx):

;

Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (—¥, х):

.

Для случайной величины x, распределенной по нормальному закону,
m = М(x), s = s(x) (Рис. 2.13, 2.14). Случайная величина распределена в интервале m ± 3s. По нормальному закону распределены обычно характеристики материалов, размеры деталей, ресурсы элементов ДЛА.

Наряду с нормальным используются и другие законы распределения случайных величин. Например, равномерное распределение – задает равновероятностные на отрезке [a, b] случайные величины. (Рис. 2.15, 2.16). Плотность вероятности и функция распределения при равномерном распределении определяются по формулам:

Выбор закона распределения для конкретной случайной величины, входящей в стохастическую модель, может быть обоснован экспериментально или теоретически.

Конкретные параметры распределения (m, s,…) всегда определяются на основе экспериментальных данных. Оценка параметров нормального распределения на основе выборки <x_i> из n случайных значений величины х дается соотношениями:

; .

При использовании метода статистических испытаний характеристики изучаемой системы оцениваются на основе некоторой ограниченной выборки реализаций. Поэтому важно определить достоверность этой оценки.

Вероятность р пребывания системы в некотором состоянии (например, вероятность того, что время работы элемента ДЛА до первого отказа составит не менее t часов), определяется частотой этого события при моделировании:

,

где n₊ – число реализаций, при которых наблюдалось изучаемое состояние системы (время работы ДЛА до первого отказа превысило t); n – общее число реализаций.

Эта оценка является приближенной, так как определяется на основе ограниченной выборки. Отношение называется выборочной статистикой.

Ошибка моделирования определяется отклонением выборочной статистики от вероятности

.

Можно показать, что эта ошибка удовлетворяет неравенству

, (2.20)

Здесь р – вероятность рассматриваемого состояния; a – вероятность невыполнения оценки (2.20) (уровень риска). Доверительная вероятность выполнения этой оценки равна 1– a.

Из (2.20) следует, что погрешность стохастического моделирования обратно пропорциональна . То есть увеличение точности при стохастическом моделировании требует значительного увеличения числа реализаций. Для уменьшения погрешности в 10 раз необходимо увеличить число реализаций (а значит и время счета) в 100 раз. Поэтому метод статистических испытаний не может дать решения с очень высокой степенью точности. Считается, что допустимая ошибка может составлять 1-5% максимальной величины, полученной при моделировании.

Величина ошибки зависит также от вероятности р оцениваемого состояния и допустимого уровня риска a. Обычно a задают на одном из фиксированных уровней
(a = 0,005; 0,01; 0,025; 0,05; 0,1 …).

Контрольные вопросы к лекции 6

1. Что представляют собой величины, входящие в стохастическую модель?

2. Что представляет собой поверхность отклика моделей, исследуемых методом статистических испытаний?

3. В чем заключается метод Монте-Карло?

4. Какие трудности возникают при исследовании стохастических моделей?

5. Какую информацию дает в руки исследователя полученное при статистическом исследовании распределение характеристик системы?

6. Какие законы распределения случайной величины Вы знаете?

7. Как выглядит плотность распределения для нормального закона?

8. Как выглядит плотность распределения для закона равной вероятности?

9. Как определяются оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины?

10. Что такое выборочная статистика?

11. Почему она называется «выборочная»?

12. От чего зависит погрешность стохастического моделирования?

Рубежный контроль 1

Глава 3. Эмпирические математические модели

Введение

Вторая половина XX века связана с появлением и широким распространением новой методологии исследования сложных объектов и систем. В ее основе лежит метод математического моделирования и реализованные на его основе вычислительные эксперименты. Математические модели использовались и раньше. Они позволяли уже тогда анализировать недоступные или несуществующие объекты и процессы. Например:

1) Планета Уран была открыта путем анализа возмущений орбит трех планет (Леверье).

2) К.Э. Циолковский показал, что для преодоления земного притяжения требуется первая космическая скорость, а не скорость света.

Однако считалось, что методы математического моделирования не пригодны для исследования сложных технических, экономических, биологических и социальных систем. В области техники отсутствие объективных математических методов привело, с одной стороны, к созданию многочисленных частных, так называемых инженерных методик расчета, носивших рецептурный характер, а с другой – к полному безраздельному господству эмпирики (натурных экспериментов).

Недостаточно полная проработка вариантов приводила к субъективным решениям.

Положение начало меняться во второй половине XX в. при развитии средств вычислительной техники, в частности современных ЭВМ, которое дало в руки исследователей новое эффективное средство моделирования сложных систем. В настоящее время не существует объектов, при изучении которых не применялись бы методы математического моделирования. Разработаны и активно используются математические модели технических устройств, модели разнообразных технологических процессов, экономические модели предприятий, регионов и целых государств, экологические модели, модели геологических и геофизических процессов, модели социальных систем, биологические и медицинские модели.

Глава 1. Цели и задачи математического моделирования
процессов и систем

Понятие «математическая модель»

Математическое моделирование позволяет до создания реальной системы (объекта) или возникновения реальной ситуации рассмотреть возможные режимы работы, выбрать оптимальные управляющие воздействия, составить объективный прогноз будущих состояний системы.

Вычислительные эксперименты, проводимые на основе математических моделей, помогают увидеть за частным общее, развить универсальные методы анализа объектов различной физической природы, познать свойства изучаемых процессов и систем.

Наконец, математическое моделирование является основой интенсивно разрабатываемых автоматизированных систем проектирования, управления и обработки данных.

Основная задача математического моделирования – выделение законов в природе, обществе и технике и запись их на языке математики.

1) Зависимость между массой тела m, действующей на него силой F и ускорением его движения а записывается в форме2-го закона Ньютона: F = m× a;

2) Зависимость между напряжением в электрической цепи U, ее сопротивлением R и силой тока I записывается в виде закона Ома: I = U/R.

Существует множество определений математической модели.

Приведем одно из них:

Математической моделью некоторого объекта, процесса или явления будем называть запись его свойств на формальном языке с целью получения нового знания (свойств) об изучаемом процессе путем применения формальных методов.

Альтернативой формальному (математическому) подходу является экспериментальный подход. К его недостаткам можно отнести:

1) высокая стоимость подготовки и проведения экспериментов;

2) получение частного знания (знания о конкретном объекте исследования, а не о классе объектов).

Например, пусть требуется определить воздействие х на некоторый процесс или объект, при котором его результирующая характеристика у имеет максимально возможное значение (Рис. 1.1).

На рис. 1.1. а) показан эмпирический (экспериментальный) подход к решению поставленной задачи, который состоит в экспериментальном определении значения параметра у для нескольких значений входного воздействия х. Среди них найдено наибольшее, и оно принимается за максимум. Как видим из этого рисунка, возможно несколько значений воздействия х (х₄ и х₅), при которых у имеет наибольшее значение, но ни одно из них не является настоящим максимумом, который, возможно, лежит между ними.

Схема применения математической модели при решении реальных задач имеет вид, показанный на рис. 1.2.

Модель сложного объекта (процесса, системы) не может быть простой. Из чего следует, что процесс использования математических моделей реальных систем является итерационным процессом, когда последовательно уточняется (дорабатывается) математическая модель и методы решения стоящих задач.

Важнейшей характеристикой моделей является их точность, адекватность действительности. При этом важно иметь в виду, что все модели представляют собой приближенное описание реальных объектов (процессов) и поэтому принципиально неточны. Интегральная оценка модели може

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры.

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала.

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем.

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник